Nature d'un triangle (1) - Corrigé

Énoncé

Soit  \(\text A\) et  \(\text B\) les points d'affixes respectives \(z_\text A=2-i\) et \(z_\text B=1-3i\) . Démontrer que le triangle \(\text O\text A\text B\)  est rectangle et isocèle en \(\text A\) .

Solution

On a
\(\) \(\begin{align*}\frac{z_\text B-z_\text A}{z_0-z_\text A}& =\frac{1-3i-(2-i)}{0-(2-i)}\\& = \frac{1-3i-2+i}{-2+i}\\& = \frac{-1-2i}{-2+i}\\& = \frac{(-1-2i)(-2-i)}{(-2)^2+1^2}\\& = \frac{2+i+4i-2}{5}\\& = \frac{5i}{5}\\& = i\end{align*}\)
donc le triangle \(\text O\text A\text B\) est rectangle isocèle en \(\text A\) .